23-空间变换—二维

矩阵与向量相乘的含义

如图，矩阵与向量相乘得到新的向量，这个向量有自己的坐标，可以理解为一个点的位置坐标，那这个相乘得到的坐标代表了什么？

可以观察到矩阵可以对坐标进行变换，从而得到缩放后的坐标，那是否可以实现对坐标绕某个点旋转或者平移的变换呢？

二维旋转

如何设计矩阵来乘以坐标，实现将左图旋转得到右图的效果？

设计旋转矩阵：

求ABCD：

使用原来(1,0)的点可以得到A C

使用原来(0,1)的点可以得到B D

最终得到旋转矩阵：

二维平移

如何设计矩阵乘以坐标实现将左图平移到右图的效果？

最直观的做法就是坐标直接加上平移数值

但是将其纳入空间变换这个计算系统中有些突兀，能不能就继续使用乘法来实现平移变换？

齐次坐标

为了实现可通过矩阵相乘得到平移变换后的坐标，引入了齐次坐标的概念： （1）给二维矩阵添加一个标识维度，1表示当前矩阵为点，0表示当前矩阵为向量。
（2）将第三列前两行元素设置为需要平移的x,y值

当表示点时：

当表示向量时：

二维空间变换矩阵总结：

缩放矩阵：

旋转矩阵：

平移矩阵：

变换矩阵的使用需要注意先后顺序：

如： 先平移后旋转得到的坐标和先旋转再平移后得到的坐标是不一样的，从直观的图形上来看，前者和后者都围绕原点旋转，所以最终得到的图形不一样。从矩阵相乘来看，矩阵相乘从右往左依次对顶点(向量)进行加工: