30-空间变换—透视投影变换

透视投影

视线从摄像机位置出发，看下-z方向，可视范围是near到far之间，形成一个视锥体；所有的物体都会被投影在近平面near上；其特点是有近大远小的效果

透视投影定义数据

可视范围： near、far
近平面范围： left、right、top、bottom

透视投影盒空间

透视投影变换的最终目的，是将视锥体内部的物体压缩到一个xyz为-1到1的盒体内，即物体坐标化为NDC坐标，从而与正交投影统一后续计算

投影坐标计算

数据定义： e(eye)坐标，即视图变换后的坐标；逆y轴看下去，得到如下图像，可知：

逆x轴看下去，得到如下图像，可知：

投影平面与NDC

目前已知投影在近平面的P点x/y/z坐标值，下面需要将其缩放到-1到1的NDC坐标系内
近平面上点坐标与NDC坐标对应关系如下，即线性关系，y坐标举例

NDC与e坐标

已知条件如下：

使用下列等式替换：

在Ze≠0的条件下，可以得到：

NDC与e坐标——剪裁空间坐标

总结： Ze≠0 情况下

Zmdc的表达式还没有计算出来，考虑到兼容Ze=0 的情况，使用齐次坐标表达：

注意! Ze为0，Pc的xyz不一定为0

理解Pc坐标的含义：
1、 它是一个齐次坐标，三维数据需要除以w
2、它的出现是为了兼容Ze=0 情况下的表达
3、其中c的含义是clip，以后会用于剪裁空间剪裁

构建从视图空间坐标到剪裁空间坐标变换矩阵

首先可以写作如下形式，因为最终结果一定满足: W=-Ze

观察Pc的x/y/z坐标公式，可以得到如下矩阵：（此时只剩下跟z相关的第三行数据未知）

假设视图变换后的坐标，位于近平面上，即Ze=-n；
此时x/y可以取任意平面内的值，而z最终得到的NDC坐标永远都是-1，可以得到如下矩阵：

任取近平面上的点，可知 Ze=-n Zndc=-1
任取远平面上的点，可知 Ze=-f Zndc=1
代入矩阵乘法可知：

透视投影变换矩阵

最终透视投影矩阵如下（转换到剪裁空间，没有做除以w的操作，即没有做透视除法）

参数代换

一般情况下，构造透视投影矩阵需要如下参数及条件：
1、近平面n，远平面f
2、y方向视张角fovy
3、近平面横/纵的百分比aspect
4、近平面相对y轴左右对称，相对x轴上下对称

替换t-b

替换r-l，使用横纵比

替换矩阵当中的元素

最终形态——透视投影变换矩阵

已知视锥体参数，得到其透视投影矩阵（到剪裁空间/无透视除法）:
近平面n，远平面f
y方向视张角fovy
近平面横/纵的百分比aspect