行列式基本性质 (一)

对于矩阵A，其行列式满足：矩阵转置后行列式不变

图-1

Think: 转置就是行变列，列变行；转置前按列展开求行列式，转置就变为按行展开行列式，依据“16-矩阵行列式计算”我们知道他们的行列式是一样的

行列式基本性质 (二)

对于矩阵A，其行列式满足：更换两行数据位置，行列式绝对值不变，符号变号；

理解：对于排列S，更换排列中的两个数字，S的逆序数改变奇偶性

图-2

如果矩阵A(方阵)中有两行或两列数据相同，则det(A)=0

理解：根据性质(二)，更换矩阵A中的两行数据后得到A`，行列式绝对值不变，符号变号，于是det(A)=-det(A`)；同时因为交换了两行相同的数据，所以矩阵A实际就是矩阵A`，两个行列式相等，det(A)=det(A`);所以det(A)=0

对于矩阵A，任一行数据共同乘以c,则行列式为det(A)*c

图-3

理解：使用按列展开，某一行数据乘以c，则每个连乘项当中都会包含一个本行数据，则都会共同乘以c，可提到外部

对于矩阵A，某一行数据加在另一行数据上，得到A`，det(A)=det(A`)

图-4

理解：按列展开，可观察到其中某一项（主对角线）为 1*1*(2+1) = 1*1*2 + 1*1*1，行列式可拆解为：

图-5

可以看到第二项有两行相同的数据，更具性质三，第二项行列式为0，最终得到的与原行列式相同

对于矩阵A，某一行数据乘以数字c，加到其他行上，得到A`,det(A)=det(A`)

图-6

理解：按列展开，观察其中一项（主对角线）： 1*1*(2+1*3) = 1*1*2 + 1*1*(1*3)，行列式可拆解为:

图-7

对于同阶矩阵A、B，其行列式满足：

图-8

在后续学习矩阵的空间变换后可加深对这个性质的理解

对于矩阵A，其行列式满足：

1、任何一行数据，共同乘以c，行列式为det(A)*c

2、更换两行数据位置，行列式绝对值不变，符号变号

3、单位矩阵的行列式为1

4、某一行数据乘以某一数字c，加到其他行上，行列式不变

对于矩阵A，定义一种运算F(A)，满足：

1、任何一行数据，共同乘以c得到A`，则F(A`)=F(A)*c

2、更换两行数据位置得到A`，则F(A`)=-F(A)

3、如果A是单位矩阵，则F(A)=1

4、某一行数据乘以某一数字c，加到其他行上，得到A`，则F(A`)=F(A)

也就是说，如果存在一种运算F，满足行列式的这4个基本性质，那么F运算得到的结果即为矩阵A的行列式