25-空间变换—任意轴旋转

回顾列视图矩阵

理解：向量P由矩阵的三个列向量分别乘以向量x/y/z 的分量后，再加和得到；列向量形成的矩阵可理解为x/y/z的权重因子，它影响着向量P的指向与长度。

旋转的几何理解

对于任意的旋转操作矩阵，假设存在以下计算：

由矩阵列视图可看作：

理解： 旋转变换矩阵，内部的三个列向量就是新坐标系R的三个基向量，按序对应与X/Y/Z轴；
P相对于新坐标系R的位置不变，通过对R的基向量进行加权加和，就可以计算变动后的P的原坐标系位置；
也可理解为把原来的坐标系进行旋转得到新的坐标系R，P跟着一起旋转，但是相对于R位置不变

旋转的几何理解——延申

如果已知一个旋转矩阵A，可以通过与基向量相乘，求出每一列

令其与x/y/z轴向量分别相乘，即可求出对应列

绕任意轴旋转推导

已知旋转轴为u，v围绕旋转角，得到v`，求v`的坐标表示

思路：（先保证向量u是归一化后的单位向量）

求向量v在向量u上的投影向量 v平行向量：

求垂直向量u的向量 v垂直向量：

观察顶部截面，需要求v`垂直向量 还需要构造纵坐标向量w

旋转是逆向旋转轴看，逆时针旋转；
看向旋转轴是，其余两轴向上/右延申为正；
依据上述右手坐标系规则，可以得到其计算方法：（向量w与向量 v垂直相同）

求向量v`垂直:

整理公式得：

最终公式代入：

由于：

可知：

现在，回到“旋转几何理解——延申”，我们知道：

令v=(1,0,0) 可得到矩阵的第一列； 令v=(0,1,0)可得到矩阵的第二列； 令v=(0,0,1)可得到矩阵的第三列

举例：

旋转矩阵的最终面貌

已知旋转矩轴为u, v围绕其旋转θ角，其旋转矩阵如下：